中考热点题型之一：相似三角形问题的解题策略

三角形相似的存在性问题，常常出现在最后的综合题中，属于难度较大、知识点覆盖面广的题型，对学生的综合能力有较高的要求. 解答这类题型，要具备分类讨论和数形结合的思想，思路分3步走，具体如下：

(1)假设结论成立，分情况讨论（注意剔除不符合题设的情况）.

三角形相似的问题中，往往没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，因此要根据相似三角形的对应关系，分情况讨论. 在分类时，要先找出分类的标准，看两个相似三角形是否已经有对应相等的角，若有，找出对应相等的角，再根据其他角进行分类讨论；若没有，则分别按三个角对应相等来分类讨论，注意剔除不合题意的对应；

(2)设未知量，求边长．

在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设的点坐标表示出所求三角形的边长；

(3)建立关系式，并计算．

由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，经整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程得未知量的值，再通过计算得出相应点的坐标．

带着解题思路看一道今年的中考题：

【典例1】（2018绵阳中考25题）

如下图，已知抛物线y=ax^2＋bx（a≠0）过点A（√3,-3）和点B（3√3,0），过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标.

解析：（1）用待定系数法可解得抛物线解析式为：y=1/2x^2-3√3x/2.

（2）过程如下：

反思：（2）由于两个都是直角三角形，等于已经知道两直角肯定对应，因此只需分△ADP∽△ACO和△PDA∽△ACO两种情况，分别求解即可.

【典例2】如下图，抛物线y＝ax ^2＋bx＋1与直线 y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．

(1)求直线的解析式和抛物线的解析式；

(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标.

(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．

解析：（1）直线的解析式y=1/3x+1，抛物线的解析式为y＝－1/3 x ^2－2/3x＋1；

（2）用含t的代数式表示出点D、F的坐标，即可表示出DF，利用二次函数的性质即可求出．

①当△AOC∽△PNA时，则有OC：AN=AO：PN，解得m＝－3或m＝10，m＝－3<0，不符合题意，舍去，

∴m＝10，此时P点坐标为(10，－39)；

②当△AOC∽△ANP时，则有 OC：PN=AO：AN ， 解得m＝2或m＝－3，m＝－3<0，不符合题意，舍去，

∴m＝2，此时P点的坐标为(2，－5/3);

综上可知，点P的坐标为(10，－39)或(2，－5/3)．

【配套练习】

1、如下图，抛物线y＝x^2＋bx＋c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(－1，0)、(0，－3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；

(3)在第(2)问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请写出所有满足条件的点P的坐标．

2、如下图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求证：△ABC是直角三角形；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

1、（1）抛物线的解析式为y＝x^2－2x－3；

（2）点D的坐标为(0，－1)；

（3）P的坐标分别为(－1/3，0)或(1/3，－2)或(－3，8)或(3，－10)．

2、（1）抛物线解析式为y＝－(x－1) ^2＋1＝－x ^2＋2x. C(－1，－3)；

（3）存在满足条件的点N的坐标为(7/3，0)或(5，0)或(5/3，0)或(－1，0)．