19个题讲透离心率的求值和取值范围问题

一、求离心率的值问题

求离心率的值需要构造一个含有或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

上图中A,B两点不是焦点，,且条件中没有b和c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且A,B均不在双曲线上，因此求点坐标无用，题目双曲线中唯一出现的与有关系的量就只有渐近线了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了[垂心的概念，因此垂直关系就很明显了。而题目中的等量关系就是垂直，

二、求离心率范围问题

与求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四种思考方向：

1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：

（3）焦点三角形面积的取值范围：当点P处于B位置时，焦点三角形面积最大，例：

2.从直线和圆锥曲线的位置关系或点和圆锥曲线的位置关系入手

（1）点和圆锥曲线的位置关系

若能用表示出某点的坐标，则根据点在椭圆内/外，将点代入椭圆内就有相应的不等关系，而这个点一般是特殊位置点，如三心、中垂线上的点等。例：

（2）直线和圆锥曲线位置关系。在开放式问题中如果问存在不存在或者求直线方程时求出多个斜率，则必定要对所求的值进行验证，若在离心率的取值范围问题中使用位置关系的判定方法，例如判别式法只能求出某个参数的取值范围，求离心率的取值范围其实是将离心率转化为关于所求出参数的函数的取值范围，例：

3、最难的几何法，通过分析题目中的几何条件得出不等关系，例如三角形两边之和大于第三边，例如出现的钝角锐角或者出现的三角形的形状，中垂线等，这也是求离心率取值范围中最难的一种，考察队几何图形和已知条件的关联性。

因为题目中只给出了垂直关系，且两点为直线与椭圆的交点，因此考虑直线与椭圆联立，运用韦达定理。因为题目中的垂直关系，我们可以用向量或者斜率来解出不等式，过程如下：