多面体的外接球问题

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点重要考点,此类问题的实质是解决球的半径R和确定球心的位置问题,其中确定球心的位置是关键.

由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所

有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多

面体的外接球的球心．

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球

的球心的如下结论．

结论 1 正方体或长方体的外接球的球心是其

体对角线的中点．

结论 2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中

心的连线的中点．

结论 3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面

三角形外心的连线的中点．

结论 4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，

具体位置可通过计算找到．

结论 5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三

角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

二、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

【结论】：空间两点间距离公式：

二、四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，

根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为

思考题