在问题的解决中，把数量关系的精确刻画与空间形式的形象直观密切结合，调用代数与几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的，这就是数形结合思想。
一、坐标法
通过选择适当的坐标系，建立数与形的对应关系，进行数与形的相互转化，从而实现问题解决的解题方法。
例如在解析几何中的公式和方程：
直线斜率、直线截距、两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、定比分点坐标、三点共线的充要条件、圆、椭圆、抛物线、双曲面、球等大都可以作为沟通数形间关系的桥梁，实现“数”向“形”的转化，达到“以形解数”的目的。
1、直线斜率模式
如果待解问题涉及形如 （a+b）/（c+d） 的式子，可转化为直线斜率 k = （y0 - y）/（x0 - x）的形式，根据斜率的几何解释和相关条件研究斜率的变化规律，实现问题解决。
例题1、如果数 x , y 满足等式 （x - 2）^2 + y^2 = 3 , 那么 y/x 的最大值是 （）
A、1/2 B、√2/3 C、√3/2 D、√3
解题思路：
待解问题 y/x = （0 - y）/（0 - x）具有直线斜率的形式，可把它看成过定点 （0,0）和动点（x,y）的直线斜率 k ，而 x,y 满足等式
（x - 2）^2 + y^2 = 3 , 其几何意义是动点（x,y）的轨迹是以（2,0）为圆心 ，√3 为半径的圆，借助图形可得 k 的最大值。
解：如图，建立平面直角坐标系，设动点 P（x,y），其中 x , y 满足等式 （x - 2）^2 + y^2 = 3 , 因而 P（x,y）是以点 A（2,0）为圆心，半径为 √3 圆上的动点。
例题1图
过定点（0,0）和动点 P（x,y）的直线的斜率是 k = y/x 。从上图容易看出，当直线 OP 与 ⊙A 的上半圆相切时， k 取最大值。
设相应得切点为 B ，则 Kmax = ∣AB∣/∣OB∣ = √3 / 1 = √3 ，故选 D 。
2、直线截距模式
如果待解问题涉及形如 a • f（t）+ b • φ（t）的式子，可转化为直线 m = ax + by 的形式，可根据直线截距的几何意义和相关约束条件研究截距变化规律，实现问题解决。
例题2、求函数 S = x + √(1 - x^2 ) 的最大值和最小值。
解题思路：
函数 S = x + √(1 - x^2 ) 具有 S = a • f（t）+ b • φ（π）的形式，令 y = √(1 - x^2 ) ,即 x^2 + y^2 = 1 （y ≥ 0）,它的几何意义是半圆，借助图形可得 S 的最大值和最小值。
解：建立平面直角坐标系 xOy ，令 y = √(1 - x^2 ) ，动点 P（x,y），其坐标 x , y 满足方程 S = x + y 和 y = √(1 - x^2 )；
即 y = -x + S ① 和 x^2 + y^2 = 1（y ≥ 0）② ；
例题2图
① 的几何意义是表示过动点 P（x,y）的相互平行的直线系，它们在纵轴上的截距为 S ；
② 的几何意义是 P（x,y）以 （0,0）为圆心，1 为半径的上半圆上的动点。
由图可知，
当 ① 与半圆相切时，纵截距 S 取得最大值，其值可由原点到直线 y = -x + S 的距离是圆半径 1 的等式关系得到，
即 S/√2 = 1 , Smax = √2 ;
当 ① 过点 A（-1,0）点时 S 取得最小值 Smin = -1 。
3、两点间距离模式
如图待解问题涉及或经过恒等变形可转化为 √[（x-x1）^2 + （y-y1）^2] 的形式，可用
两点之间的距离 d = √[（x-x1）^2 + （y-y1）^2] 模式，在根据相关约束条件研究 d 的变化规律，实现问题解决。
例题3、求函数 y = √ [x^2 + 2x + 2] + √ [x^2 - 6x + 10] 的最小值 。
解题思路：
函数 y = √ [x^2 + 2x + 2] + √ [x^2 - 6x + 10] = √ [（x+1）^2 +1^2] + √ [（x-3）^2 +1^2]
具有两点间的距离模式，可把 √ [（x+1）^2 +1^2] 解释为动点 P（x,0）与定点 A（-1，-1）间的距离；
√ [（x-3）^2 +1^2] 是动点 P（x,0）与定点 B（3，1）间的距离，而点 P（x，0）在 x 轴上运动，借助图形容易得到函数的最小值。
解：建立如下图所示的直角坐标系，设 P（x,0），A（-1，-1），B（3,1）
则 y = √ [x^2 + 2x + 2] + √ [x^2 - 6x + 10] = ∣PA∣ + ∣PB ∣ ≥ ∣CA∣ + ∣CB ∣ =∣ AB∣ ；
因而 ymin = ∣ AB∣ = √[(3+1)^2 + (1+1)^2 ] = 2√5 。
例题3图
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