题型一 已知三角形的两角及一边解三角形

【例1】在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.

「正弦定理」用正弦定理解三角形常见的四个题型以及易错点分析


【方法总结】:已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是:

(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.

(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.

【变式1】 在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c.

题型二 已知两边及一边的对角解三角形

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【方法总结】利用正弦定理解决“已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时,可能出现一解、两解或无解的情况,应结合“三角形大边对大角”来判断解的情况,做到正确取舍.

【变式2】 满足a=4,b=3和A=45°的△ABC的个数为 ( ).

A.0个 B.1个

C.2个 D.无数多个

题型三 利用正弦定理判断三角形的形状

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【方法总结】 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有以下两种途径:

(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;

(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

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题型四 利用正弦定理求最值或范围

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【题后反思】 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法:

(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量.

(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为函数的值域或最值的问题.

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【易错点分析】 忽视等价转化而致误

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当两个角的某三角函数值相等时,我们并不能肯定这两个角一定相等,一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况.

灵活运用诱导公式sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z),sin(π-α)=sin α是解三角形的关键,当出现sin A=sin B时,一是易忽略A、B的范围;二是易忽略A+B=π时,sin A=

sin B同样成立.

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