高中数学数列求和的五种方法

一、公式法求和

例题1、设 {an} 是由正数组成的等比数列,Sn为其前 n 项和 ， 已知 a2 · a4=1 , S3=7， 则 S5 等于(　B　)

(A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2

解析：

∵ {an} 是由正数组成的等比数列 , 且 a2 · a4 = 1, q > 0 ,

例题1图

注：

等比数列求和公式图

例题2、已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于(　B　)

(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定

解析：

由数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {an} 是等差数列,

由S25= 1/2 ×（a1 + a25）× 25 = 100 ，

解得 a1+a25 = 8,

所以 a1+a25 = a12+a14 = 8。

注：

等差数列求和公式图

二、分组转化法求和

例题3、在数列 {an} 中, a1= 3/2 ，

例题3图（1）

解析：

例题3图（2）

故

例题3图（3）

∵ an>1，∴ S < 2 ,

例题3图（4）

∴有 1 < S < 2

∴ S 的整数部分为 1。

例题4、数列

例题4图（1）

例题4图（2）

解析：

例题4图（3）

三、并项法求和

例题5、已知函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少？

解析:

由条件可知：f(x)+f(1-x)=1，而x+(1-x)=1，

∴f(-2)+f(3)=1，f(-1)+f(2)=1，f(0)+f(1)=1，

∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。

例题6、数列 {an} 的通项公式 an=ncos（nπ/2），其前 n 项和为Sn，则 S2012 等于多少？

解析：n 取奇数和偶数分组；答案：1006 。

四、裂项相消法求和

例题7、若已知数列的前四项是

例题7图（1）

则数列前n项和是多少？

解析：

因为通项

例题7图（2）

所以此数列的前n项和

例题7图（3）

五、错位相减法求和

例题8、已知数列 {an} 满足

例题8图（1）

(1)求证：数列

例题8图（2）

是等差数列 , 并求出数列 {an} 的通项公式；

(2) 求数列 {an} 的前 n 项之和 Sn。

解析：

例题8图（3）

例题8图（4）

例题8图（5）