高中数学二元一次不等式组的特殊求解

一、特殊目标函数的求解：

二、例题分析与讲解：

例题1、若变量 x , y 满足条件

则 xy 的取值范围是（ D ）

解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，

目标函数 Z = xy 表示为反比例函数 y = Z/x 的比例系数，根据反比例函数的性质可得，当反比例函数越往上平移，比例系数越大。

故而可得当反比例函数与直线 BC 相切时，Z = xy 取最大值，此时联立

当 y = 0 时，取最小值0。

例题2、已知点 P（x , y ) 的坐标满足条件

解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，

目标函数 Z = y/( x + 2 ) 表示为点 ( x , y ) 和点 ( -2 , 0 ) 之间的斜率，根据图像可得

故而可得 a = 1 ；目标函数

表示点 ( x , y ) 和点 ( 0 , -√3 ) 之间的距离平方，根据图像可得

故而最小值为4，即 b = 4 ，因此可得 a + b = 5 。

例题3、过平面区域

内一点 P 作圆 O ：x^2 + y^2 = 1 的两条切线，切点分别为 A ，B , 记 ∠APB = α ，当 α 最大时，求点 P 的坐标是多少？

解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，

根据图像可得 ∠APB = 2∠APO ，故而要使得角 α 最大，即满足 ∠APO 最大即可。

故而可得当 OP 取最小值时角 α 最大。此时 OP⊥DF ，根据直线的性质可得点 P（-1 ，-1 ）。

三、知识拓展与应用：

例题4、某工厂有 A , B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个 A 配件，耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个 B配件，耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个 B 配件，每天生产总耗时不超过8 h ，若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为__________万元。

解析：由题意假设工厂每天生产甲产品 x 件，乙产品 y 件，故而可得约束条件

目标函数为 Z = 3x + 4y ，根据约束条件作出可行域如图所示，

故而可得在点 B( 4 , 2 ) 处取最大值 20. 。