一、知识体系图

基本初等函数专题训练

基本初等函数知识体系图

二、专题训练

1、指数、对数的运算

解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的运算法则,熟练掌握各种变形,进行相互之间的转化,选择适合题目的形式进行运算。

基本初等函数专题训练

例题1图(1)

解题思路:

(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出;

(2)利用指数幂的运算法则即可得出。

解答过程:

基本初等函数专题训练

例题1图(2)

2、指数、对数型函数的定义域、值域

定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性。

涉及值域问题主要有两个 类型:

一是形如 y = a^[f(x)] 和 y = logaf(x) 的函数,一般要先求出 f(x) 的值域,然后利用指数、对数函数的单调性求解;

二是形如 y = f(a^x) 和 y = f(logax) 的函数,则要根据 a^x 和 logax 的范围,利用函数 y = f(x) 的性质求解 。

基本初等函数专题训练

例题2图(1)

解题思路:

(1)令 t = x^2 -2x +2 , 则 y = (1/2)^t ,根据 x 的范围求出 t 的范围,可得函数 y = (1/2)^t 的范围;

(2)结合二次函数的性质即可求解 。

基本初等函数专题训练

例题2图(2)

解答过程:

基本初等函数专题训练

例题2图(3)

基本初等函数专题训练

例题2图(4)

3、幂、指数、对数函数的图象和性质

解决此类问题要熟练掌握幂、指数、对数函数的图象和性质,方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,也可利用图像解决,对含参数的问题进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根。

基本初等函数专题训练

例题3图(1)

解题思路:

由指数函数和对数函数的图像和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可。

解答过程:

基本初等函数专题训练

例题3图(2)

4、比较大小问题

数的大小比较常用方法:

单调性法、图像法、作差法、作商法、中间搭桥法;

当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性作比较;

比较多个数的大小时,先利用 “0” 和 “1” 作为分界点,即把它们分为 “小于 0 ” 、“大于等于 0、小于等于 1 ” 、“大于 1” 三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小 。

基本初等函数专题训练

例题4图(1)

解题思路:

利用指数函数、对数函数和幂函数的性质进行比较大小。

解答过程:

基本初等函数专题训练

例题4图(2)

5、分类讨论思想

在初等函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据函数的图像和性质,依据函数的单调性进行分类讨论,使求解得以实现。

基本初等函数专题训练

例题5图(1)

解题思路:

(1)结合 f(3) < f(5) 与函数 f (x ) 的奇偶性,分类讨论确定 m 的值及 f (x) 的解析式;

(2)由 g (x ) 为增函数,结合 a 讨论,求出 a 的取值范围 。

解答过程:

基本初等函数专题训练

例题5图(2)

基本初等函数专题训练

例题5图(3)

基本初等函数专题训练

例题5图(4)