1、 掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征;

2、 运用一次函数与二次函数的性质解决有关问题。

一、知识点总结

1、一次函数

定义 : 函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 叫做一次函数,它的定义域是 R,值域是 R 。

 一次函数的图象是直线,所以一次函数又叫线性函数;

 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 )中,k 叫直线的斜率,b 叫直线在 y 轴上的截距;

当 k > 0 时,函数是增函数 ; 当 k < 0 时,函数是减函数 。

 当 b = 0 时, 该函数是奇函数且为正比例函数,直线过原点;b ≠ 0 时,它既不是奇函数,也不是偶函数 。

2、 二次函数

定义: 函数 y = ax^2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 叫做二次函数,它的定义域为是R,图象是一条抛物线 。

 当 b = 0 时 , 该函数为偶函数,其图象关于 y 轴对称;

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

二次函数性质图(1)

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

二次函数性质图(2)

 二次函数的三种表示形式

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

二次函数三种表示形式图(3)

⑤ 利用配方法求二次函数 y = ax^2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的对称轴方程为: x = -b / (2a) ;

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

二次函数图(4)

⑦ 用待定系数法求函数解析式时,要注意函数对解析式的要求,一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等;要应视具体问题,灵活地选用其形式,再根据题设条件列方程组,确定其系数。

二、典型例题

1、一次函数的性质

例1:已知函数 y=(2m-1)x+1-3m,求当 m 为何值时:

(1)这个函数为正比例函数?(2)这个函数为奇函数?(3)函数值 y 随 x 的增大而减小?

解:(1)由题意,得

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

例题1图(1)

∴ m = 1/3 时 ,这个函数为正比例函数 。

(2)函数为奇函数 ,有

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

例题1图(2)

∴ m = 1/3 时 ,这个函数为奇函数 。

(3)由题意,得 2m-1<0,∴ m < 1/2

∴ m < 1/2 , 函数值 y 随 x 的增大而减小 。

2、求一次函数的解析式

例题2、已知一次函数的图象经过点A(1,1)、B(-2,7),求这个一次函数的解析式。

解:设 y 关于 x 的函数解析式为 y=ax+b (a≠0),把 A(1,1)、B(-2,7) 的坐标分别代入 y=ax+b,

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

例题2图(1)

∴ y关于x的函数解析式为y=-2x+3 。

3、二次函数的值域问题

例3: 已知函数 f(x)=x^2+x-2,则函数 f(x) 在区间 [-1,1) 上 ( D )

A、最大值为0,最小值为-9/4 B、最大值为0,最小值为-2

C、最大值为0,无最小值 D、无最大值,最小值为-9/4

解:

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

例题3图(1)

4、含参数的二次函数在闭区间上最值的讨论

例4:求 f(x)=x^2-2ax-1 在 [0,2] 上的最大值 M(a) 和最小值 m(a) 的表达式。

解:f(x)=(x-a)^2-a^2-1,x∈ [0,2],

顶点是(a,-a^2-1),二次项系数为正,图象开口向上,

对称轴 x=a, 由 f(x) 在顶点左边 (即x ≤ a) 单调递减,在顶点右边(即x≥a)单调递增,

所以 f(x) 图象的对称轴 x=a 与闭区间 [0,2] 的位置关系(求两种最值)分4种情况求解.如图①~④中抛物线的实线部分。

基本初等函数之一次函数与二次函数习题

例题4图(1)

在图 ① 中,当 a < 0 时,f(x) 在 [0,2] 上单调递增,所以 M(a)=f(2)=-4a+3,m(a)=f(0)=-1;

在图②中,当 0 ≤ a < 1,且 f(0) ≤f (2),即0≤a<1时,f(x) 在 [a,2]上单调递增,

所以M(a)=f(2)=-4a+3,m(a)=f(a)=-a^2-1;

在图③中,当1≤ a < 2 时,f(x)在[0,a]上单调递减,最大值M(a)=f(0)=-1,最小值m(a)=f(a)=-a^2-1;

在图④中,当a ≥ 2 时,f(x) 在 [0,2] 上单调递减,所以M(a)=f(0)=-1,m(a)=f(2)=-4a+3。